视图矩阵的推导

在MVP（模型-视图-投影）变换的过程中，模型变换实际上就是对物体本身的变换，如平移、旋转物体。视图变换，就是计算出物体相对摄像机的位置，因为模型变换变换的是物体的绝对位置，那从摄像机作为原点出发，去看物体的位置，肯定就不是物体的绝对位置，所以视图变换做的就是这件事。

那么怎么算出一个矩阵M，使得任意的物体应用了该矩阵得出的坐标是相对摄像机的呢？

很容易知道，计算物体的相对摄像机的坐标，实际上就是在摄像机的位置为原点，去看各个物体。所以很容易我们可以把问题转为计算摄像机到原点的矩阵（因为摄像机变换了，那物体也应用这个矩阵算出的结果，实际就是以摄像机视角看到的坐标）。当然我们还要旋转摄像机，让摄像机能看向-z轴的方向，并且向上方向是(0, 1, 0)，为什么要这样做主要是方便后面的计算。

首先，根据摄像机的坐标，我们可以很轻松推导出把摄像机移动到原点的矩阵（pos是摄像机坐标）：

$$M_{transform}=\left[\begin{array}{cccc}1& 0& 0& -pos\mathrm{.}x\\ 0& 1& 0& -pos\mathrm{.}y\\ 0& 0& 1& -pos\mathrm{.}z\\ 0& 0& 0& 1\end{array}\right]$$
M_{transform} = \begin{bmatrix}
1 & 0 & 0 &-pos.x \
0 & 1 & 0 & -pos.y \
0 & 0 & 1 &-pos.z\ 0 & 0 & 0 & 1
\end{bmatrix}

然后就是旋转，首先要让镜头对准-z方向，所以要让镜头的朝向指向 (0, 0, -1)。假设原来朝向是 look(x,y,z)， 所以 M ·( look.x, look.y, look.z ,1) = (0, 0, -1, 1)。

这样解M是很难解的，但是有个特性是:

如果 $A \bullet B = C$， 那 $A^{-1} \bullet C = B$.

那么我们可以算出矩阵的逆:

$$M^{-1}=\left[\begin{array}{cccc}?& ?& -look\mathrm{.}x& 0\\ ?& ?& -look\mathrm{.}y& 0\\ ?& ?& -look\mathrm{.}z& 0\\ 0& 0& 0& 1\end{array}\right]$$
M^{-1} = \begin{bmatrix} ? & ? & -look.x & 0 \
? & ? & -look.y & 0 \
? & ? & -look.z & 0 \
0 & 0 & 0 & 1
\end{bmatrix}

同理，原来的向上方向up(x,y,z) 要旋转到 (0, 1, 0), 可以更新$M^{-1}$:

$$M^{-1}=\left[\begin{array}{cccc}?& up\mathrm{.}x& -look\mathrm{.}x& 0\\ ?& up\mathrm{.}y& -look\mathrm{.}y& 0\\ ?& up\mathrm{.}z& -look\mathrm{.}z& 0\\ 0& 0& 0& 1\end{array}\right]$$
M^{-1} = \begin{bmatrix} ? & up.x & -look.x & 0 \
? & up.y & -look.y & 0 \
? & up.z & -look.z & 0 \
0 & 0 & 0 & 1
\end{bmatrix}

那还有第一列还没有的出来。这个时候根据右手定理，-z方向叉乘y方向，实际上是x轴正方向。所以原来的x轴方向是 $-look \times up = cross$ 这里定为 cross, 所以cross要旋转到 (1, 0, 0)。 所以我们又可以更新$M^{-1}$

$$M^{-1}=\left[\begin{array}{cccc}cross\mathrm{.}x& up\mathrm{.}x& -look\mathrm{.}x& 0\\ cross\mathrm{.}y& up\mathrm{.}y& -look\mathrm{.}y& 0\\ cross\mathrm{.}z& up\mathrm{.}z& -look\mathrm{.}z& 0\\ 0& 0& 0& 1\end{array}\right]$$
M^{-1} = \begin{bmatrix} cross.x & up.x & -look.x & 0 \
cross.y & up.y & -look.y & 0 \
cross.z & up.z & -look.z & 0 \
0 & 0 & 0 & 1
\end{bmatrix}

然后我们再取矩阵的逆，正交矩阵的逆就是转置，所以直接转置就可以算出矩阵M:

$$M_{rotate}=\left[\begin{array}{cccc}cross\mathrm{.}x& cross\mathrm{.}y& cross\mathrm{.}z& 0\\ up\mathrm{.}x& up\mathrm{.}y& up\mathrm{.}z& 0\\ -look\mathrm{.}x& -look\mathrm{.}y& -look\mathrm{.}z& 0\\ 0& 0& 0& 1\end{array}\right]$$
M_{rotate} = \begin{bmatrix} cross.x & cross.y & cross.z & 0 \ up.x & up.y & up.z & 0 \
-look.x & -look.y & -look.z & 0 \
0 & 0 & 0 & 1
\end{bmatrix}

最后我们再结合平移矩阵（先平移再旋转，所以平移矩阵放在右边）:

$$\begin{gathered} M_{view}=\left[\begin{array}{cccc}cross\mathrm{.}x& cross\mathrm{.}y& cross\mathrm{.}z& 0\\ up\mathrm{.}x& up\mathrm{.}y& up\mathrm{.}z& 0\\ -look\mathrm{.}x& -look\mathrm{.}y& -look\mathrm{.}z& 0\\ 0& 0& 0& 1\end{array}\right]\left[\begin{array}{cccc}1& 0& 0& -pos\mathrm{.}x\\ 0& 1& 0& -pos\mathrm{.}y\\ 0& 0& 1& -pos\mathrm{.}z\\ 0& 0& 0& 1\end{array}\right] \\ =\left[\begin{array}{cccc}cross\mathrm{.}x& cross\mathrm{.}y& cross\mathrm{.}z& -dot(cross,pos)\\ up\mathrm{.}x& up\mathrm{.}y& up\mathrm{.}z& -dot(up,pos)\\ -look\mathrm{.}x& -look\mathrm{.}y& -look\mathrm{.}z& dot(look,pos)\\ 0& 0& 0& 1\end{array}\right] \end{gathered}$$
M_{view} = \begin{bmatrix} cross.x & cross.y & cross.z & 0 \ up.x & up.y & up.z & 0 \
-look.x & -look.y & -look.z & 0 \
0 & 0 & 0 & 1
\end{bmatrix}\begin{bmatrix}
1 & 0 & 0 &-pos.x \
0 & 1 & 0 & -pos.y \
0 & 0 & 1 &-pos.z\ 0 & 0 & 0 & 1
\end{bmatrix} \= \begin{bmatrix} cross.x & cross.y & cross.z & -dot(cross, pos) \ up.x & up.y & up.z & -dot(up, pos) \
-look.x & -look.y & -look.z & dot(look, pos) \
0 & 0 & 0 & 1
\end{bmatrix}

到此，视图矩阵的推导过程就结束了。刚开始确实很难入手，手推一遍后，实际并不会特别难。

完)